مبدأ الاساسي العد (2)

تمارين ومسائل 1 الكتاب ص 20-21

سؤال رقم 1)

يوجد في احدى المحلات الرياضية المواصفات التاليه لحذاء كرة القدم :

اللون : أبيض ، أزرق ، بني ، أسود

المقاس : 40 ، 41، 42، 43، 44، 45 ( من كل لون )

كم عدد الانواع المختلفة المعروضة في المحل ؟

الحل

عدد الانواع المختلفة المعروضة في المحل = 4( اللون ) ×( 6( المقاسات ) = 24 نوع مختلف

سؤال رقم 2)

بطاقة الصرف الالي تحتوي على أربعة أرقام من 0 الى 9 كم بطاقة مختلفة يمكن انتاجها ؟

الحل : عدد البطاقات الممكن انتاجها : 10×10×10×10= 10000 بطاقة

سؤال 3) بكم طريقة يمكن ان يختار طالب مقررين دراسيين الاول في الهندسة ، والثاني في الجبر اذا كان مطروحا له 6 مقررات في الهندسة و3 في الجبر ؟

الحل : عدد خيارات الطالب الممكنه =6×3= 18 خيار

سؤال رقم 4 )

إذا كانت س=(6،5،4،3،2،1) فبكم طريقة يمكن تكوين عدد من خمسة أرقام مختلفة بحيث لا يتجاور رقمين زوجيين أو رقمين فرديين ؟؟

الحل :

العدد مكون من 5 ارقام __، ___، ___، ___، ____ مختلفة
س=(6،5،4،3،2،1) بحيث لا يتجاور عددين زوجيين ولا عددين فرديين
اذن الحل كما يلي :
الخانات ( 1) (2) (3) (4) (5 )
ـــــــ، ـــــــ ، ــــــــ ، ــــــــ، ـــــــــ

في الخانه 1 لدي 6 احتمالات ( من جميع الارقام المتاحه )
في الخانه 2 لدي 3 احتمالات فقط ( والسبب انه لو كان في الخانه الاولى رقم فردي فسآخذ رقم زوجي ولدي 3 منهم او العكس لو كان رقم زوجي في الخانه الاولى ساخذ عدد فردي ولدي منهم 3 )
في الخانه 3 لدي احتمالين ( من الاعداد المخالفه للخانه 2 )
في الخانه 4 لدي احتمالين ( من الاعداد المخالفه للخانه 3)
في الخانه 5 سيكون لدي عدد واحد
الاجابه ستكون عدد الاعداد الممكنه = 6×3×2×2×1= 72

حل اخر:

عدد الاعداد الممكنه = العدد الفردي + العدد الزوجي

=2x2x3x3x1+2x2x3x3x1

=36 + 36

=72 عدد

سؤال رقم 5)

نسيت سمية الرقم الخاص بها لدخول الانترنت وكانت لديها المعلومات التالية :

- يتكون العدد من الارقام 2 ، 3، 4، 5، 6

-العدد مكون من خمسة أرقام .

- العدد زوجي

فما عدد الخيارات الممكنه أمام سمية لأستعادة رقمها ؟ ( إذا علم ان الارقام لا تتكرر ) .

الحل :

عدد خانات العدد خمسة كالتالي : ـــــ ،ــــــــ ، ـــــــ ، ـــــــ ، ـــــــ

عدد الخيارات الممكنه = 3 × 4× 3× 2× 1= 72

سؤال رقم 6 )

يراد اختيار مجلس ادارة الصف ( رئيس ونائبه وأمين الصندوق ومسؤول العلاقات العامة ) من بين 35 طالبا بحيث لا يشغل طالب منصبين في وقت واحد .فبكم طريقة يمكن ذلك ؟

الحل :

عدد الطرق الممكنه = 35×34×33×32= 1256640 طريقة

سؤال رقم 7)

لدينا {1، 2، 3، 4، 5} ، كم عددا مكونا من ثلاثة أرقام يمكن تكوينه اذا :

أ) سمح بالتكرار؟

ب) لم يسمح بالتكرار ؟

الحل :

أ) عدد الطرق = 5× 5×5= 125

ب) عدد الطرق = 5×4×3= 60

سؤال رقم 8 )

بكم طريقة يمكن تكوين عدد مكون من اربعة أرقام من 0 الى 9 وتكون محصورة بين 1000 و 7000 ولا يكون عددا فرديا ؟

الحل :

خانات العدد بتكون 4 كالتلي : (1) (2) (3) (4)

--------،------،-------،--------

الخانه الاولى الارقام الممكنه 5 ( لان العدد زوجي يجب ان يكون احادها زوجي 0، 2، 4، 6، 8 )

الخانه الثانية الارقام الممكنه 10

الخانه الثالثة الارقام الممكنه 10

الخانة الرابعه الارقام الممكنه 6 ( لان العدد يجب ان يكون اقل من 6000 فالارقام المحتمله هي 1 ، 2، 3، 4، 5، 6 )

يستثني من الاعداد العدد 1000 لانه ليس ضمن الفترة المحددة

اذن الحل سيكون : عدد الاعداد الممكنه = 5×10×10×6-1 = 2999

سؤال رقم 9 )

في أحد الصفوف الدراسية للحلقة الاولى 16 تلميذ و14 تلميذه وكانت عناك مناسبة وطنية يراد تنظيمها بالمدرسة ، فما عدد الطرق الممكنه لاختيار :

أ ) تلميذ وتلميذة

ب) تلميذ أو تلميذة

الحل :

أ ) عدد الطرق = 16 ×14= 224

ب) عدد الطرق 16 +14= 30

سؤال رقم 10 )

كم عددا يمكن تكوينه من أربعة أرقام مختلفة وتحتوي على الرقمين 0 ، 8 ؟

الحل :

هناك عدد 9 حالات لطرق توزيع ال 0 و 8 في ترتيب العدد كالتالي :

الخانات : (1) (2) (3) (4)

الحالات :

1 0 8

2 0 8

3 0 8

4 8 0

5 0 8

6 0 8

7 8 0

8 8 0

9 0 8

طبعا لا توجد حاله يكون فيها الخانة فيها 0 لان العدد مكون من 4 أرقام

اذن عدد الحالات الممكنه سيكون : 9×( 8×7×1× 1) = 504

توضيح :

في كل حاله سيكون احتمال وجود عدد 0 في الخانه الاولى مثلا 1 ووجود االرقم 8 ايضا 1 وطرق اختيار باقي الارقام بدون الصفر وال8 هو 8 للخانه الثالثه و7 للخانه الرابعه وسيكرر ذلك 9 مرات لذا ضرب الناتج في 9

سؤال رقم 11)

كم عددا يمكن تكوينه من ثلاثة أرقام ويكون فيها رقما مكتوبا مرتين ؟

الحل :

الحالة الاولى : بدون اصفار هناك 3 حالات فقط اذن عدد الطرق = 3×( 9×8× 1) =216

الحالة الثانية : بصفر واحد هناك حالتين فقط اذن عدد الطرق = 2×(9×1×1) = 18

الحالة الثالثة : في حالة وجود صفرين ( فقط يكون الصفرين في الاحاد والعشرات فقط ولا يمكن ان يكون في خانة المئات ) = 1×9×1=9

عدد الطرق = 216+18+9= 243

سؤال رقم 12)

اذا تم رمي حجري نرد ذي ستة اوجه ، اجب ععما يأتي :

أ ) كم عدد النتائج الممكنه ؟

ب) ما عدد النتائج التي يكون فيها الرقمين الظاهرين : 1) متساويين 2) مختلفين

ج) اكتب النتائج التي لا تشتمل على الرقم 1

د) اكتب النتائج التي تشتمل على الرقم 1 على الاقل مرة واحدة .

الاجابة :

أ) 6 × 6 = 36

ب)1) 6 2) 36 - 6 = 30

ج){ (2،2) ،(2 ،3) ، ( 2 ،4) ، ( 2 ، 5) ، ( 2، 6) ، ( 3، 2) ، (3، 3) ، (3، 4) ، (3، 5) ، (3، 6) ، ( 4، 2) ، (4، 3) ، (4، 4) ، (4، 5) ، (4، 6 ) ، (5، 2) ، ( 5، 3 ) ، (5 ، 4) ، ( 5، 5) ، (5، 6) ، ( 6، 2) ، (6، 3) ، (6 ، 4) ، (6 ، 5 ) ، (6 ، 6 ) }

د) { (1، 1) ، (1، 2) ، (1، 3) ، (1، 4) ، (1، 5) ، (1، 6) ، (2، 1) ، (3، 1) ، (4، 1) ، (5، 1) ، (6، 1) }

سؤال رقم 13 )

يراد انتاج بطاقات تحتوي كل منها على 6 رموز ( أرقام وحروف انجليزية ) . فكم بطاقة يمكن انتاجها بحيث يكون رقمين على الاكثر ؟

الحل :

اذا كانت البطاقة تحوي رموز فقط فان عدد الحالات = 26 × 26×26×26×26×26=

اذا كانت البطاقة تحوي رقم واحد وخمسة رموز ( سيكون هناك 6 حالات لتحريك الارقام عبر الخانات ) لذا عدد الحالات = 6×( 10 ×26×26×26×26×26) =

اذا كانت البطاقة تحوي رقمين واربعة رموز ( سيكون هناك 15 حاله لتحريك الارقام عبر الخانات ) لذا عدد الطرق =15× (10×10 ×26×26×26×26) =

عدد الطرق الممكنه جميعها = (26) ^6 + 6× 10 × ( 26) ^5 + 15×10×10 × ( 26) ^4

= 1707262336